శూన్యము నుండి అనంతము వరకు
అనేక విషయాలను గురించి ఆలోచించే అవకాశం వచ్చింది. అప్పుడే Expert Systems అనే సబ్జెక్ట్ పై రిసెర్చ్ జరుగుతూంది. ఆ సబ్జెక్ట్ లో - data,information, knowledge, expertise, logic, intelligence, memory, language, speech, pictures, mathematics - ప్రముఖ పాత్ర వహిస్తాయి. ఇవన్నీ వీళ్ళకి ఇప్పుడు కావలసి వచ్చాయి. మన వారి ఊహలలో ఇవి వేల సంవత్స్రాల ముందే స్థానం ఏర్పరచుకున్నాయి. అని మన శాస్త్రాల పరిచయం చేసుకునే ప్రయత్నం మొదలు పెట్టాను. లాజిక్ కు దీటుగా మనం చదవవలసినది న్యాయం (గౌతముడు), వైశేషికం (కణాదుడు), సాంఖ్యం (కపిలుడు), మీమాంస (జైమిని), వేదాంతం (బాదరాయణుడు) ఇవి మన విద్యలో ఎందుకు స్థానం సంపాదించుకోలేదు?
శూన్యము, అనంతము
భారతీయ ఆలోచనా విధానంలో ఇవి చాలా ముఖ్యమైన తత్త్వాలు. మొట్టమొదట మనకు ఇవి గణితంలో
ఎదురౌతాయి. చాలా తరువాత
అవి వేదాంతంలో దర్శనమిస్తాయి. మధ్యలో అవి సృష్టిలో, విశ్వరచనలో స్ఫురణకు వస్తాయి.
బుద్దుడు,నాగార్జునుడు, ఆర్యభట్టు,
బ్రహ్మగుప్తుడు, ఆదిశేషువు, బలరాముడు, కృష్ణుడు, విష్ణువు స్ఫురణకు వస్తారు.
చిన్నప్పుడు మొదట ఏ,బీ, సీ, డి,...లు ఒక అర్థ శతాబ్దం వెనుక అ, ఆ, ఇ, ఈ..లు తరువాత అంకెలు, 1,2,3,4... మా చిన్నప్పుడు
I,II,III,IV,V, ..X,... L,...C, ... D,... M,.. తీసివేతలు మొదలైనప్పుడు మొదటిసారిగా 0, (సున్న, శూన్యము) అవసరమౌతుంది.
అప్పుడు ఎందుకు సున్న చెప్పడం? మొదటే సున్న, ఒకటి, రెండు ... అని అంకెలు మొదలు పెట్టవచ్చుగదా? చిన్నప్పుడు
అనుమానం
రోమన్ అంకెలలో సున్న ఎలాగ?
ఇప్పటి సామాన్య శకములో ఇది 2014వ సంవత్సరము. 0000 సంవత్సరము, 1 జనవరి 0000 నాడు నూతన సంవత్సరము ఎలా
జరుపుకుని ఉంటారు? ఆ సంవత్సరము అప్పుడు ఉంటేగదా జరుపుకోడానికి. మనం సంవత్సరాన్ని అంకెలలో చెప్పుకొనము. ప్రభవ
నుండి మొదలైన సంవత్సరాలలో ఇది విజయ నామ సంవత్సరం. అనంత కాలచక్రములో ఇది ఒక చిన్న పరిమిత కాలావధి. మనము
వైజ్ఞానికమైన కాలచక్రాన్ని మరచిపోయి, ఈ అవైజ్ఞానికమైన, అర్థంలేని అంకెలతో కాల గణన చేస్తున్నామా అని నా ధర్మ సందేహం.
1, 2, 3, 4, ... ఇలా ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి. అసంఖ్యాకమైన అంకెలు ఉండవచ్చును. ఆకాశంలో నక్షత్రాలన్ని అంటే సరిపోతుందా?
1,2 మధ్య, 1, 1.1, 1.01, 1.001, ఇలా ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి? అనంతమైన అంకెలు అందామా? పైన చెప్పిన అసంఖ్యాకము,ఈ
అనంతము ఒకటేనా? ఇవి ఈ నాటి ఆలోచనలు కావు. మన సైంటిఫిక్ టెంపర్ కు అవధులు ఏమిటి? సైన్స్ విశ్వాన్ని గురించి
ఎప్పటికైనా
అర్థంచేసుకో గలుగుతుందా? సైన్స్ కి సాయంకాలం సమీపించినదా? అప్పుడప్పుడు పరిశీలిద్దాము.
శూన్యము, అనంతము - 3
ప్రాచీన ఋషులు వైదిక విజ్ఞానాన్ని ఎలా సంపాదించారు? ఆధునికులు భౌతిక, రసాయన, జీవ శాస్త్రాల విజ్ఞానాన్ని ఎలా సంపాదిస్తున్నారు అనేది ప్రశ్న. ఈ రెండు విధానాలలో భేదములు ఏమిటి? రెండు మార్గాలూ విభిన్నమైనవి. రెండు మార్గాల్లలో లభించే విజ్ఞానముకూడా భిన్నమైనది. ఈ రెండిటినీ ఎలా సమన్వయము చేసుకోవాలి? మనం ఈ రెండు విధాలయిన సమాచారాన్ని ఎలా వినియోగించుకోవాలి? ఆధునిక విజ్ఞాన శాస్త్ర విషయాలు మన విద్యావిధానంలో అందరూ నేర్చుకుంటూనే ఉన్నారు. దీని వలన వీళ్ళకి వైజ్ఞానిక దృక్పథం (సైంటిఫిక్ టెంపర్) అలవడినదా?
సైంటిఫిక్ టెంపర్ అంటే ఏమిటి? ఈ మాట అమెరికాలో వినబడదు. దీని ప్రచారం నెహ్రూ గారి "డిస్కవరీ ఆఫ్ ఇండియా" నుండి వచ్చినది. “ఈ ఆధునిక యుగంలో మనకు కావలసినది వైజ్ఞానిక దృక్పథం. ఇదే సైంటిఫిక్ టెంపర్. దీని అర్థం - నూతన విజ్ఞాన సాధనకు, సత్యాన్వేషణకు నిరంతర పరిశ్రమ, ఏ సిద్దాంతాన్నీ పరీక్షకు గురిచేయకుండా అంగీకరించక పోవడం, నూతన ఆధారాలూ, సాక్ష్యాలూ లభిస్తే మన పాత ఊహలను, విశ్వాసాలను సరిదిద్దుకోవడం, ప్రత్యక్షముగా లభించిన యదార్థజ్ఞానాన్ని యదార్థముగా స్వీకరించడం, మేధస్సును, హేతువాదాన్నీ ఉపయోగించడం --- ఇదంతా కేవలం వైజ్ఞానిక విషయాలకే కాదు, జీవితగమనంలో ఎదురయ్యే సమస్యలకు కూడా ఇదే మార్గం.” -- నెహ్రూ -- "డిస్కవరీ ఆఫ్ ఇండియా". ఆయన కుమార్తె ఇందిరాగాంధి కాలములో 1976లో జరిగిన 46వ రాజ్యాంగ సవరణలో ఈ సైంటిఫిక్ టెంపర్ ను అలవరచుకోవడం భారతపౌరుల విధులలో ఒకటని చెప్పబడినది. (దీని ఆధారంగా మహరాష్ట్ర, కర్ణాటక రాష్ట్రప్రభుత్వాలు అంధ విశ్వాసాల నిర్మూలన చట్టాలు ప్రవేశ పెడుతున్నాయి. ఇదొక విష వలయం. ఈ వ్యాస విషయముతో ప్రత్యక్ష సంబంధములేనిది.)
నెహ్రూగారు చెప్పింది ఒక వైజ్ఞానిక పద్దతి వలెనే కనుపిస్తుంది. కాని అది పూర్తిగా ఆచరణ యోగ్యమూకాదు, ఆమోద యోగ్యమూకాదు, సత్యాన్వేషణకు ఏకైక మార్గమూ కాదు, ఆయన అనుకున్నట్లు అది ఆధునికమూ కాదు. నెహ్రూ తర్కం ఎందుకు దోషపూరితం? ఆయన తర్కం ప్రకారం వేద పురాణ విషయాలు అంధ విశ్వాసాలు అవుతాయి. ఒక యోగికి, ఒక మహర్షికి ధ్యానంలో, తపస్సులో లభించిన అనుభవం, విజ్ఞానం సామాన్యునికి ప్రయోగ శాలలో లభించే, నిరూపించే అవకాశంలేదు.
అసలు విషయం ఆయనకు తర్క శాస్త్ర పరిజ్ఞానంలేదు, ఆధునిక విజ్ఞాన విధానాల అవగాహనాలేదు. అనేక తర్కాలున్నాయి. గణితంలో ఉపయోగించే తర్కం (deductive logic), భౌతిక శాస్త్రంలో పనికిరాదు. సూర్యుడు తూర్పున ఉదయిస్తాడు అనేది భూమిపైనున్న వారికి ప్రత్యక్ష అనుభవం. భూమి తనచుట్టూ తాను తిరుగుట వలన మనకు సూర్యుడు ఉదయించినట్లు కనబడతాడు అనేది ఎక్కువ సత్యం. సూర్యుడు ఎవరి చుట్టూ తిరుగుతాడు? ధనూరాశి వైపు వెడుతున్నట్లు అగుపిస్తాడు. నిజానికి వియత్పధం (మిల్కీవే గెలాక్సీ) లోని కృష్ణబిలం (బ్లాక్ హోల్)చుట్టూ సర్పిల (స్పైరల్) ఆకారంలో పరిభ్రమిస్తాడు అనేది ఇంకా సత్యం. ఈ పరిణామం చెందే సత్యాలు inductive, abductive reasoning ద్వారా లభిస్తాయి. విజ్ఞాన శాస్త్ర విషయాలన్నీ తాత్కాలిక సత్యాలు. భారతీయ తర్కం ప్రమాణాలమీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రత్యక్ష అనుమాన ప్రమాణాలు తర్కంలోనూ, సైన్స్ లోనూ చెప్పేవే. కాని జ్ఞాన సముపార్జనకు ఇతర ప్రమాణాలున్నాయి. నెహ్రూ, గాంధీ ఇలా అన్నారు అంటే, వారి వాక్యాలు ప్రమాణాలు కావు, ఆ వాక్యాలను సత్యంగా స్వీకరించరాదు. అవికేవలం వ్యక్తిగత అభిప్రాయాలు; అని చెప్పుకోవాలి. అవి తర్క పరిభాషలో హేత్వాభాసలు (fallacies). వేదంలో వాక్యాన్ని శబ్ద ప్రమాణం అంటారు. అది స్వీకరించని వారు నాస్తికులు. వారితో చర్చ వితండ వాదానికి దారితీస్తుంది. చార్వాకుల, బౌద్ధుల, జైనుల, అద్వైతుల, ద్వైతుల, పాశ్చాత్యుల ప్రమాణాలు వేరు వేరు. ఒకరి నిర్ణయం, ఇంకొకరి విశ్వాసం ఔతున్నది.
అనంతం గురించి, వైదిక విజ్ఞాన భావాలను గురించి, ఆధునిక గణితాన్ని గురించి మాట్లాడాలంటే మనకు ఆధునిక యుగంలో కనబడే ఒకే వ్యక్తి శ్రీనివాస రామానుజన్ (1887-1920). The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan [Robert Kanigel] రాబర్ట్ కనిజెల్ వ్రాసిన ఆయన జీవిత చరిత్ర విషయాలు ఒక విదేశీయుని దృష్టికోణం నుంచి వెలువడినవి. ఆయన గణిత జ్ఞానం ఆయన జన్మ తోవచ్చిన సంస్కార రూపం. కాలేజీలలో చదువుకొని నేర్చుకున్నది కాదు. జన్మతః ఒక సనాతన (రామానుజ సంప్రదాయంలోని) తెంగళై శ్రీవైష్ణవుడు. చదువు FA failed (నేటి ఇంటర్). కాని ఆయన గణిత విజ్ఞానం కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయపు ఆహ్వానాన్ని అందుకునేటట్లు ఛేసింది. ఆయన ఇచ్చిన గణిత సమీకరణాలు నా గణిత జ్ఞానానికి ఎక్కువ స్థాయివి. మనం ఇక్కడ ఆయన వేదాంత భావాలను, సంఖ్యల తత్త్వంపై ఆయన విజ్ఞానాన్ని చూదాము. కేంబ్రిడ్జ్ నివాసం ఆయన ఆధునిక గణిత శాస్త్ర ప్రతిభను పైకి తీసుకురావడంతోబాటుగా ఆయన జీవితం విషాదాంతం అవడానికి కూడా పరోక్షంగా తోడుపడింది. వచ్చే పోస్ట్ లో వివరాలు
శూన్యము, అనంతము - 4
శ్రీనివాస రామానుజన్ (1887-1920).
The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan [Robert Kanigel]
రామానుజన్ తమిళనాడు లోని ఈరోడ్ అనే పట్టణంలో పుట్టి పెరిగాడు. ఇతడికి పది సంవత్సరాల వయసులోనే గణితశాస్త్రం తో అను
బంధం ఏర్పడింది. చిన్న వయసులోనే గణితం పట్ల సహజ సిద్ధమైన ప్రతిభ కనపరిచేవాడు. ఆ వయసులోనే ఎస్. ఎల్. లోనీ
త్రికోణమితి (trigonometry) మీద రాసిన పుస్తకాలను వంటపట్టించుకున్నాడు. పదమూడు సంవత్సరాలు నిండే సరికల్లా ఆ
పుస్తకాన్ని ఔపోసన పట్టడమే కాకుండా, తన స్వంత సిద్ధాంతాలు కూడా రూపొందించడం ప్రారంభించాడు. రామానుజన్ తండ్రి కె.
శ్రీనివాస అయ్యంగార్ ఒక చీరల దుకాణంలో గుమస్తాగా పని చేసేవారు. ఈయన తంజావూరు జిల్లాకి చెందిన వారు. తల్లి కోమలతమ్మాళ్
గృహిణి. ఆయనకు 13 సం. వయస్సులో A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics by G. S. Carr అనే
5000 సమీకరణాలు, సిద్ధాంతాలు ఉన్న పుస్తకం లభించింది. ఇది ఆయనలోని గణిత శాస్త్రజ్ఞుని మేలుకొలిపినది. 18 సంవత్సరాల
వయస్సులో మద్రాసు పచ్చైయప్ప కాలేజిలో ఎఫ్.ఏ. లోచేరాడు. గణితం తప్ప ఇతర విషయాలపై మనసులేకపోవడంతో ఆ పరీక్షలో
1906లో ఫెయిల్ అయ్యాడు. 1909 లో వివాహం అయినది. 1910 వరకు అమితమైన దారిద్ర్యం అతడిని వరించింది. రామ స్వామి
అయ్యర్ అనే డిప్యూటీ కలెక్టరును కలసి ఉద్యోగంకోసం అడిగాడు. అయ్యరు ఇండియన్ మాథెమాటికల్ సొసైటీ స్థాపకులలో ఒకరు.
రామానుజన్ గణితపరిజ్ఞానం చూచి, అతనికి గుమాస్తా ఉద్యోగం ఇవ్వడం అన్యాయమని భావించాడు. రామానుజన్ ను ఆ సొసైటీ
సెక్రెటరీ నెల్లూరు జిల్లా కలెక్టరు అయిన ఆర్. రామచంద్రరావు వద్దకు పంపించాడు. వీరందరి ప్రోత్సాహంతో మద్రాసు యూనివర్సిటీలో
గణితపరిశోధనలు చేసే అవకాశం వచ్చినది. 1913 లో కేంబ్రిడ్జి ఆచార్యుడు హార్డీతో తన పరిశోధనఫలితాలను పంపడము dwaaraa
రామానుజన్ జీవితంలో కొత్త అధ్యాయము ప్రారంభమయినది. 1916 లో అతనికి కేంబ్రిడ్గి యూనివర్సిటీ BA by research
డిగ్రీ వచ్చినది. (తరువాత ఇది PhDగా మార్చబడినది.) రామానుజం తనకు గణితంలో గల కుశలత తమ ఇలవేల్పు ఐన నామక్కల్
మహాలక్ష్మి కటాక్షం వలన వచ్చినదనిచెప్పేవాడు. (నామక్కల్ - నామగిరి - తమిళనాడులో ప్రసిద్ధ లక్ష్మీనృసింహ క్షేత్రం. నరసింహ
స్వామి దర్శన అనుభూతి కలగగానే గణిత సిద్ధాంతాలు స్ఫురణకు వచ్చాయని చెప్పేవాడు. ఇంగ్లండులో ఉండగా తన శాకాహార
నియమాన్ని ఎప్పుడూ అతిక్రమించలేదు. ఈ క్రింది సంఘటన ఆచార్య ప్రశాంత చంద్ర మహలనబిస్ (విఖ్యాత సంఖ్య శాస్త్రజ్ఞుడు)
చెప్పినది. వాహ్యాళికి వెళ్ళినప్పుడు రామానుజం ఇలా చెప్పేవాడు: “గణితం భగవంతునికై అన్వేషణలో భాగమే అని నాకు అనిపిస్తుంది.
ఏ సంఖ్యను చూచినా నాకు భగవంతుని తత్త్వమే కనుపిస్తుంది. 0 అంటే శూన్యము, భగవంతుని నిర్గుణ తత్త్వము, 1 అంటే భగవంతుని
సంపూర్ణ వ్యాప్తి తత్త్వము, 3 అంటే త్రిమూర్తులు, 7 అంటే సప్తమహర్షులు ఇలా,.. ఏ సంఖ్యను చూచినా నాకు భగవంతుని తత్త్వమే
కనుపిస్తుంది. 0 అంటే శూన్యము, భగవంతుని నిర్గుణ తత్త్వము, 1 అంటే భగవంతుని సంపూర్ణ వ్యాప్తి తత్త్వము, 3 అంటే త్రిమూర్తులు,
7 అంటే సప్తమహర్షులు ఇలా… 0/0 విలువ ఎంత? n/0 = ∞ అనంతము. ( n) సృష్టిలోని అనంతవైవిధ్యాన్ని తెలియజేస్తుంది.
లెక్కింపగలిగిన (countable) అనంతములోని పూర్ణాంకములు ఒకొక సృష్టిలోని వైవిధ్యాన్ని చూపిస్తాయి. నేను ఆయన చెప్పినది
పూర్తిగా అర్థంకాక పోయినా వినేవాణ్ణి."
ఇది పూర్వం జనకమహారాజు సభలో వంది, అష్టావక్రుల సంవాదాన్ని గుర్తు చేస్తుంది. అప్పుడు 13 అంకెల వరకు ఉన్న అంకెల
ప్రాముఖ్యత వరకు వివరించడం జరిగిది. సంఖ్య కి సృష్టికి ఉన్న సంబంధాన్నే సాంఖ్య దర్శనం తెలియచేస్తుంది. ఇది కపిల మహర్షి
మొదట తన తల్లి దేవహూతికి బోధించాడు. సృష్టి పంచ వింశతి (25) తత్త్వాలతో ఏర్పడినదని సాంఖ్యంచెపుతుంది.
1933 లో మహలనబిస్ స్థాపించిన ఇండియన్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్స్టిట్యూట్, కలకత్తా వారి జర్నల్ పేరు "సంఖ్య". రామానుజానికి సంఖ్యలతో
ఉన్న పరిచయం జన్మాంతర సంబంధం. 1729 అనే అంకెను రామానుజం-హార్డీ సంఖ్య అంటారు. దీని వివరాలు తరువాత.
శూన్యము, అనంతము - 5
రామానుజం-హార్డీ సంఖ్య 1729
శూన్యం – అనంతం - మధ్య అనంత కోటి పూర్ణాంకాలు - అనంతమైన అనంతాల సంఖ్యలు.
శూన్యం భూలోకమనుకుంటే బ్రహ్మాండంలో సత్యలోకం, పైన కైలాసం, వైకుంఠం, గోలోకం, బ్రహ్మాండానికి అవల వ్యాపించిన క్షీర సాగరం ఆదిశేషుని పర్యకం పై పవళించిన మహావిష్ణువు. క్రిందకు వెడితే అతలము నుండి పాతాళమువరకు వ్యాపించిన బ్రహ్మాండపు అధో భాగం, ఆదిశేషుని లోకమైన రసాతలం. దీని అక్షము వరకు వ్యాపించిన (- ∞ ...0... ∞ ) సంఖ్యారేఖ. కేంద్రబిందువు పైనున్న భూమండలము, సూర్యమండలము. సృష్టిలో ఒక బ్రహ్మకల్పంలో బ్రహ్మతోబాటుగా సృష్టించబడిన లక్షలకోట్ల ఆత్మలు సంఖ్యా రేఖపై నున్న ఆనేక రకముల సంఖ్యలు. ఆనాడు రామానుజానికి ఇలా బ్రహ్మాండ, విష్ణు పురాణాలలోని సృష్టి వర్ణనను గురించి వాహ్యాళికి వెళ్ళినప్పుడు సంభాషించేవారు ఉండి ఉంటే ఆయన ఇంకా ఎన్ని గణితరహస్యాలు బయటపెట్టే వారో? సామాన్య నిత్యజీవిత సంభాషణలోనే ఆయన అంకెల తత్త్వాన్ని క్షణంలో గుర్తించేవారు. ఆసుపత్రిలో ఉండగా ఆయనను చూడటానికి వెళ్ళిన హార్డీ వెళ్లిన కారు రిజిస్ట్రేషన్ నంబరు 1729. అదిచెబుతూ ఇది ఏ ప్రత్యేకతా లేని సంఖ్య కదా! అని హార్డీ అన్నారు. వెంటనే రామానుజం అది రెండు ఘనముల మొత్తంగా వ్రాయగలిగిన అతిచిన్న సంఖ్య అనిచెప్పారు.
1729=1^3+〖12〗^3= 9^3+〖10〗^3
ఈ సంఖ్యకు ఇంకా అనేక ప్రత్యేకతలున్నాయి.
1729 = 7 x 13 x 19;
The sum of digits of 1729 = 1+7+2+9 = 19; 19 x 91 = 1729.
1 కాకుండా ఇలా వ్రాయగల సంఖ్యలు ఇంకో రెండే ఉన్నాయి 81, 1458.
2013 లోనే ప్రచురింపబడిన పుస్తకాలలో కంప్యూటర్ సైన్స్ ఆచార్యుడు నోసన్ యనోవ్స్కీ (Professor Noson S. Yanofsky), వ్రాసిన " ది ఔటర్ లిమిట్స్ ఆఫ్ రీజన్, వాట్ సైన్స్, మాథ్స్ అండ్ లాజిక్ కెనాట్ టెల్ అస్" (కార్య-కారణతకు పరిమితులు: విజ్ఞానశాస్త్రము, గణితము, తర్కము మనకు బోధింపలేని విషయాలు) MIT Press ముఖ్యమైనది. ఇక్కడ విషయం ఏమంటే అనంత సృష్టిలో ఒక బిందువుకంటే అధికముగాని ఒక మనుష్య మేధస్సు, విశ్వములో ఒక పరిమితభాగాన్ని మాత్రమే పరికించ గలదు. మానవాతీతమైన జ్ఞానార్జనకై చేసే ప్రయత్నం వృథా ప్రయాస. ఉదాహరణకు గణిత శాస్త్రములో అనంతమును గురించి మనము ఎంతవరకు గ్రహించగలము. "1, 2, 3, ... ఇలా ఎన్ని అంకెలున్నాయి?" అంటే అనంతము, (ఇన్ఫినిటీ) అని చెబుతాము. 1, 2 మధ్య 1,1.1, 1.01, 1.001 ... ఇలా ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి? అంటే కూడా అనంతము, (ఇన్ఫినిటీ) అని చెబుతాము. ఈ రెండు ఇన్ఫినిటీలు ఒకటికావు. మొదటిది లెక్కపెట్టగలిగిన (కౌంటబుల్) అనంతము, రెండవది (అన్కౌంటబుల్) అనంతం. మన గెలాక్సీలో నక్షత్రాలసంఖ్యను మొదటి తరగతి అనంతంగానూ గానూ, విశ్వంలో మొత్తం నక్షత్రాలసంఖ్యను రెండవ తరగతి అనంతంగాను గుర్తింపవచ్చు. గణితంలో అనంతాన్ని ఈ గుర్తుతో (∞) సూచిస్తాము. అనంత మనేది ఒక సంఖ్యకాదు. ఒక మానవాతీతమైన తత్త్వము. అదికేవలము గణితానికే పరిమితము కాదు. సృష్టి అనంతము. భగవంతుడు అనంతుడు. బ్రహ్మము అనంతము. వేదము అనంతము. (అనంతోవై వేదా).
అనంతమైన అనంతాలను గురించి మనకు ఉన్న జ్ఞానం ఇప్పుడు కూడా చాలా పరిమితం. భారతీయ గణిత చరిత్రలో అనంతమును గురించి చర్చ ఉన్నదా? ఇన్ఫైనిట్ (infinite) అనే ఆంగ్ల పదానికి అసంఖ్యాకమైన , అనంతమైన అని రెండు పదాలు మన భాషలో ఉపయోగించ గలము. ఇవి సమానార్థాకాలు కావు. రెండు తరగతుల అనంతమునకు సంబంధించినది. ఈ పద ప్రయోగం “సూర్య ప్రజ్ఞాప్తి” అనే ప్రాచీన భారత గణిత శాస్త్రగ్రంధములోనిది. ఇది సా.శ. పూ 3 - 4 శతాబ్దులనాటిది. సంఖ్యలను లెక్కింపగలిగినవి, అసంఖ్యాకము, అనంతము (countable, uncountable, infinite) అని మూడు వర్గాలు గాను, ఒకొక వర్గాన్ని మూడు ఉపవర్గాలు గాను విభజించారు. ఇది అనంతముపై ప్రాచీన భారతీయులకు గల అవగాహనను సూచిస్తుంది.
అనేక విషయాలను గురించి ఆలోచించే అవకాశం వచ్చింది. అప్పుడే Expert Systems అనే సబ్జెక్ట్ పై రిసెర్చ్ జరుగుతూంది. ఆ సబ్జెక్ట్ లో - data,information, knowledge, expertise, logic, intelligence, memory, language, speech, pictures, mathematics - ప్రముఖ పాత్ర వహిస్తాయి. ఇవన్నీ వీళ్ళకి ఇప్పుడు కావలసి వచ్చాయి. మన వారి ఊహలలో ఇవి వేల సంవత్స్రాల ముందే స్థానం ఏర్పరచుకున్నాయి. అని మన శాస్త్రాల పరిచయం చేసుకునే ప్రయత్నం మొదలు పెట్టాను. లాజిక్ కు దీటుగా మనం చదవవలసినది న్యాయం (గౌతముడు), వైశేషికం (కణాదుడు), సాంఖ్యం (కపిలుడు), మీమాంస (జైమిని), వేదాంతం (బాదరాయణుడు) ఇవి మన విద్యలో ఎందుకు స్థానం సంపాదించుకోలేదు?
శూన్యము, అనంతము
భారతీయ ఆలోచనా విధానంలో ఇవి చాలా ముఖ్యమైన తత్త్వాలు. మొట్టమొదట మనకు ఇవి గణితంలో
ఎదురౌతాయి. చాలా తరువాత
అవి వేదాంతంలో దర్శనమిస్తాయి. మధ్యలో అవి సృష్టిలో, విశ్వరచనలో స్ఫురణకు వస్తాయి.
బుద్దుడు,నాగార్జునుడు, ఆర్యభట్టు,
బ్రహ్మగుప్తుడు, ఆదిశేషువు, బలరాముడు, కృష్ణుడు, విష్ణువు స్ఫురణకు వస్తారు.
చిన్నప్పుడు మొదట ఏ,బీ, సీ, డి,...లు ఒక అర్థ శతాబ్దం వెనుక అ, ఆ, ఇ, ఈ..లు తరువాత అంకెలు, 1,2,3,4... మా చిన్నప్పుడు
I,II,III,IV,V, ..X,... L,...C, ... D,... M,.. తీసివేతలు మొదలైనప్పుడు మొదటిసారిగా 0, (సున్న, శూన్యము) అవసరమౌతుంది.
అప్పుడు ఎందుకు సున్న చెప్పడం? మొదటే సున్న, ఒకటి, రెండు ... అని అంకెలు మొదలు పెట్టవచ్చుగదా? చిన్నప్పుడు
అనుమానం
రోమన్ అంకెలలో సున్న ఎలాగ?
ఇప్పటి సామాన్య శకములో ఇది 2014వ సంవత్సరము. 0000 సంవత్సరము, 1 జనవరి 0000 నాడు నూతన సంవత్సరము ఎలా
జరుపుకుని ఉంటారు? ఆ సంవత్సరము అప్పుడు ఉంటేగదా జరుపుకోడానికి. మనం సంవత్సరాన్ని అంకెలలో చెప్పుకొనము. ప్రభవ
నుండి మొదలైన సంవత్సరాలలో ఇది విజయ నామ సంవత్సరం. అనంత కాలచక్రములో ఇది ఒక చిన్న పరిమిత కాలావధి. మనము
వైజ్ఞానికమైన కాలచక్రాన్ని మరచిపోయి, ఈ అవైజ్ఞానికమైన, అర్థంలేని అంకెలతో కాల గణన చేస్తున్నామా అని నా ధర్మ సందేహం.
1, 2, 3, 4, ... ఇలా ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి. అసంఖ్యాకమైన అంకెలు ఉండవచ్చును. ఆకాశంలో నక్షత్రాలన్ని అంటే సరిపోతుందా?
1,2 మధ్య, 1, 1.1, 1.01, 1.001, ఇలా ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి? అనంతమైన అంకెలు అందామా? పైన చెప్పిన అసంఖ్యాకము,ఈ
అనంతము ఒకటేనా? ఇవి ఈ నాటి ఆలోచనలు కావు. మన సైంటిఫిక్ టెంపర్ కు అవధులు ఏమిటి? సైన్స్ విశ్వాన్ని గురించి
ఎప్పటికైనా
అర్థంచేసుకో గలుగుతుందా? సైన్స్ కి సాయంకాలం సమీపించినదా? అప్పుడప్పుడు పరిశీలిద్దాము.
శూన్యము, అనంతము - 3
ప్రాచీన ఋషులు వైదిక విజ్ఞానాన్ని ఎలా సంపాదించారు? ఆధునికులు భౌతిక, రసాయన, జీవ శాస్త్రాల విజ్ఞానాన్ని ఎలా సంపాదిస్తున్నారు అనేది ప్రశ్న. ఈ రెండు విధానాలలో భేదములు ఏమిటి? రెండు మార్గాలూ విభిన్నమైనవి. రెండు మార్గాల్లలో లభించే విజ్ఞానముకూడా భిన్నమైనది. ఈ రెండిటినీ ఎలా సమన్వయము చేసుకోవాలి? మనం ఈ రెండు విధాలయిన సమాచారాన్ని ఎలా వినియోగించుకోవాలి? ఆధునిక విజ్ఞాన శాస్త్ర విషయాలు మన విద్యావిధానంలో అందరూ నేర్చుకుంటూనే ఉన్నారు. దీని వలన వీళ్ళకి వైజ్ఞానిక దృక్పథం (సైంటిఫిక్ టెంపర్) అలవడినదా?
సైంటిఫిక్ టెంపర్ అంటే ఏమిటి? ఈ మాట అమెరికాలో వినబడదు. దీని ప్రచారం నెహ్రూ గారి "డిస్కవరీ ఆఫ్ ఇండియా" నుండి వచ్చినది. “ఈ ఆధునిక యుగంలో మనకు కావలసినది వైజ్ఞానిక దృక్పథం. ఇదే సైంటిఫిక్ టెంపర్. దీని అర్థం - నూతన విజ్ఞాన సాధనకు, సత్యాన్వేషణకు నిరంతర పరిశ్రమ, ఏ సిద్దాంతాన్నీ పరీక్షకు గురిచేయకుండా అంగీకరించక పోవడం, నూతన ఆధారాలూ, సాక్ష్యాలూ లభిస్తే మన పాత ఊహలను, విశ్వాసాలను సరిదిద్దుకోవడం, ప్రత్యక్షముగా లభించిన యదార్థజ్ఞానాన్ని యదార్థముగా స్వీకరించడం, మేధస్సును, హేతువాదాన్నీ ఉపయోగించడం --- ఇదంతా కేవలం వైజ్ఞానిక విషయాలకే కాదు, జీవితగమనంలో ఎదురయ్యే సమస్యలకు కూడా ఇదే మార్గం.” -- నెహ్రూ -- "డిస్కవరీ ఆఫ్ ఇండియా". ఆయన కుమార్తె ఇందిరాగాంధి కాలములో 1976లో జరిగిన 46వ రాజ్యాంగ సవరణలో ఈ సైంటిఫిక్ టెంపర్ ను అలవరచుకోవడం భారతపౌరుల విధులలో ఒకటని చెప్పబడినది. (దీని ఆధారంగా మహరాష్ట్ర, కర్ణాటక రాష్ట్రప్రభుత్వాలు అంధ విశ్వాసాల నిర్మూలన చట్టాలు ప్రవేశ పెడుతున్నాయి. ఇదొక విష వలయం. ఈ వ్యాస విషయముతో ప్రత్యక్ష సంబంధములేనిది.)
నెహ్రూగారు చెప్పింది ఒక వైజ్ఞానిక పద్దతి వలెనే కనుపిస్తుంది. కాని అది పూర్తిగా ఆచరణ యోగ్యమూకాదు, ఆమోద యోగ్యమూకాదు, సత్యాన్వేషణకు ఏకైక మార్గమూ కాదు, ఆయన అనుకున్నట్లు అది ఆధునికమూ కాదు. నెహ్రూ తర్కం ఎందుకు దోషపూరితం? ఆయన తర్కం ప్రకారం వేద పురాణ విషయాలు అంధ విశ్వాసాలు అవుతాయి. ఒక యోగికి, ఒక మహర్షికి ధ్యానంలో, తపస్సులో లభించిన అనుభవం, విజ్ఞానం సామాన్యునికి ప్రయోగ శాలలో లభించే, నిరూపించే అవకాశంలేదు.
అసలు విషయం ఆయనకు తర్క శాస్త్ర పరిజ్ఞానంలేదు, ఆధునిక విజ్ఞాన విధానాల అవగాహనాలేదు. అనేక తర్కాలున్నాయి. గణితంలో ఉపయోగించే తర్కం (deductive logic), భౌతిక శాస్త్రంలో పనికిరాదు. సూర్యుడు తూర్పున ఉదయిస్తాడు అనేది భూమిపైనున్న వారికి ప్రత్యక్ష అనుభవం. భూమి తనచుట్టూ తాను తిరుగుట వలన మనకు సూర్యుడు ఉదయించినట్లు కనబడతాడు అనేది ఎక్కువ సత్యం. సూర్యుడు ఎవరి చుట్టూ తిరుగుతాడు? ధనూరాశి వైపు వెడుతున్నట్లు అగుపిస్తాడు. నిజానికి వియత్పధం (మిల్కీవే గెలాక్సీ) లోని కృష్ణబిలం (బ్లాక్ హోల్)చుట్టూ సర్పిల (స్పైరల్) ఆకారంలో పరిభ్రమిస్తాడు అనేది ఇంకా సత్యం. ఈ పరిణామం చెందే సత్యాలు inductive, abductive reasoning ద్వారా లభిస్తాయి. విజ్ఞాన శాస్త్ర విషయాలన్నీ తాత్కాలిక సత్యాలు. భారతీయ తర్కం ప్రమాణాలమీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రత్యక్ష అనుమాన ప్రమాణాలు తర్కంలోనూ, సైన్స్ లోనూ చెప్పేవే. కాని జ్ఞాన సముపార్జనకు ఇతర ప్రమాణాలున్నాయి. నెహ్రూ, గాంధీ ఇలా అన్నారు అంటే, వారి వాక్యాలు ప్రమాణాలు కావు, ఆ వాక్యాలను సత్యంగా స్వీకరించరాదు. అవికేవలం వ్యక్తిగత అభిప్రాయాలు; అని చెప్పుకోవాలి. అవి తర్క పరిభాషలో హేత్వాభాసలు (fallacies). వేదంలో వాక్యాన్ని శబ్ద ప్రమాణం అంటారు. అది స్వీకరించని వారు నాస్తికులు. వారితో చర్చ వితండ వాదానికి దారితీస్తుంది. చార్వాకుల, బౌద్ధుల, జైనుల, అద్వైతుల, ద్వైతుల, పాశ్చాత్యుల ప్రమాణాలు వేరు వేరు. ఒకరి నిర్ణయం, ఇంకొకరి విశ్వాసం ఔతున్నది.
అనంతం గురించి, వైదిక విజ్ఞాన భావాలను గురించి, ఆధునిక గణితాన్ని గురించి మాట్లాడాలంటే మనకు ఆధునిక యుగంలో కనబడే ఒకే వ్యక్తి శ్రీనివాస రామానుజన్ (1887-1920). The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan [Robert Kanigel] రాబర్ట్ కనిజెల్ వ్రాసిన ఆయన జీవిత చరిత్ర విషయాలు ఒక విదేశీయుని దృష్టికోణం నుంచి వెలువడినవి. ఆయన గణిత జ్ఞానం ఆయన జన్మ తోవచ్చిన సంస్కార రూపం. కాలేజీలలో చదువుకొని నేర్చుకున్నది కాదు. జన్మతః ఒక సనాతన (రామానుజ సంప్రదాయంలోని) తెంగళై శ్రీవైష్ణవుడు. చదువు FA failed (నేటి ఇంటర్). కాని ఆయన గణిత విజ్ఞానం కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయపు ఆహ్వానాన్ని అందుకునేటట్లు ఛేసింది. ఆయన ఇచ్చిన గణిత సమీకరణాలు నా గణిత జ్ఞానానికి ఎక్కువ స్థాయివి. మనం ఇక్కడ ఆయన వేదాంత భావాలను, సంఖ్యల తత్త్వంపై ఆయన విజ్ఞానాన్ని చూదాము. కేంబ్రిడ్జ్ నివాసం ఆయన ఆధునిక గణిత శాస్త్ర ప్రతిభను పైకి తీసుకురావడంతోబాటుగా ఆయన జీవితం విషాదాంతం అవడానికి కూడా పరోక్షంగా తోడుపడింది. వచ్చే పోస్ట్ లో వివరాలు
శూన్యము, అనంతము - 4
శ్రీనివాస రామానుజన్ (1887-1920).
The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan [Robert Kanigel]
రామానుజన్ తమిళనాడు లోని ఈరోడ్ అనే పట్టణంలో పుట్టి పెరిగాడు. ఇతడికి పది సంవత్సరాల వయసులోనే గణితశాస్త్రం తో అను
బంధం ఏర్పడింది. చిన్న వయసులోనే గణితం పట్ల సహజ సిద్ధమైన ప్రతిభ కనపరిచేవాడు. ఆ వయసులోనే ఎస్. ఎల్. లోనీ
త్రికోణమితి (trigonometry) మీద రాసిన పుస్తకాలను వంటపట్టించుకున్నాడు. పదమూడు సంవత్సరాలు నిండే సరికల్లా ఆ
పుస్తకాన్ని ఔపోసన పట్టడమే కాకుండా, తన స్వంత సిద్ధాంతాలు కూడా రూపొందించడం ప్రారంభించాడు. రామానుజన్ తండ్రి కె.
శ్రీనివాస అయ్యంగార్ ఒక చీరల దుకాణంలో గుమస్తాగా పని చేసేవారు. ఈయన తంజావూరు జిల్లాకి చెందిన వారు. తల్లి కోమలతమ్మాళ్
గృహిణి. ఆయనకు 13 సం. వయస్సులో A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics by G. S. Carr అనే
5000 సమీకరణాలు, సిద్ధాంతాలు ఉన్న పుస్తకం లభించింది. ఇది ఆయనలోని గణిత శాస్త్రజ్ఞుని మేలుకొలిపినది. 18 సంవత్సరాల
వయస్సులో మద్రాసు పచ్చైయప్ప కాలేజిలో ఎఫ్.ఏ. లోచేరాడు. గణితం తప్ప ఇతర విషయాలపై మనసులేకపోవడంతో ఆ పరీక్షలో
1906లో ఫెయిల్ అయ్యాడు. 1909 లో వివాహం అయినది. 1910 వరకు అమితమైన దారిద్ర్యం అతడిని వరించింది. రామ స్వామి
అయ్యర్ అనే డిప్యూటీ కలెక్టరును కలసి ఉద్యోగంకోసం అడిగాడు. అయ్యరు ఇండియన్ మాథెమాటికల్ సొసైటీ స్థాపకులలో ఒకరు.
రామానుజన్ గణితపరిజ్ఞానం చూచి, అతనికి గుమాస్తా ఉద్యోగం ఇవ్వడం అన్యాయమని భావించాడు. రామానుజన్ ను ఆ సొసైటీ
సెక్రెటరీ నెల్లూరు జిల్లా కలెక్టరు అయిన ఆర్. రామచంద్రరావు వద్దకు పంపించాడు. వీరందరి ప్రోత్సాహంతో మద్రాసు యూనివర్సిటీలో
గణితపరిశోధనలు చేసే అవకాశం వచ్చినది. 1913 లో కేంబ్రిడ్జి ఆచార్యుడు హార్డీతో తన పరిశోధనఫలితాలను పంపడము dwaaraa
రామానుజన్ జీవితంలో కొత్త అధ్యాయము ప్రారంభమయినది. 1916 లో అతనికి కేంబ్రిడ్గి యూనివర్సిటీ BA by research
డిగ్రీ వచ్చినది. (తరువాత ఇది PhDగా మార్చబడినది.) రామానుజం తనకు గణితంలో గల కుశలత తమ ఇలవేల్పు ఐన నామక్కల్
మహాలక్ష్మి కటాక్షం వలన వచ్చినదనిచెప్పేవాడు. (నామక్కల్ - నామగిరి - తమిళనాడులో ప్రసిద్ధ లక్ష్మీనృసింహ క్షేత్రం. నరసింహ
స్వామి దర్శన అనుభూతి కలగగానే గణిత సిద్ధాంతాలు స్ఫురణకు వచ్చాయని చెప్పేవాడు. ఇంగ్లండులో ఉండగా తన శాకాహార
నియమాన్ని ఎప్పుడూ అతిక్రమించలేదు. ఈ క్రింది సంఘటన ఆచార్య ప్రశాంత చంద్ర మహలనబిస్ (విఖ్యాత సంఖ్య శాస్త్రజ్ఞుడు)
చెప్పినది. వాహ్యాళికి వెళ్ళినప్పుడు రామానుజం ఇలా చెప్పేవాడు: “గణితం భగవంతునికై అన్వేషణలో భాగమే అని నాకు అనిపిస్తుంది.
ఏ సంఖ్యను చూచినా నాకు భగవంతుని తత్త్వమే కనుపిస్తుంది. 0 అంటే శూన్యము, భగవంతుని నిర్గుణ తత్త్వము, 1 అంటే భగవంతుని
సంపూర్ణ వ్యాప్తి తత్త్వము, 3 అంటే త్రిమూర్తులు, 7 అంటే సప్తమహర్షులు ఇలా,.. ఏ సంఖ్యను చూచినా నాకు భగవంతుని తత్త్వమే
కనుపిస్తుంది. 0 అంటే శూన్యము, భగవంతుని నిర్గుణ తత్త్వము, 1 అంటే భగవంతుని సంపూర్ణ వ్యాప్తి తత్త్వము, 3 అంటే త్రిమూర్తులు,
7 అంటే సప్తమహర్షులు ఇలా… 0/0 విలువ ఎంత? n/0 = ∞ అనంతము. ( n) సృష్టిలోని అనంతవైవిధ్యాన్ని తెలియజేస్తుంది.
లెక్కింపగలిగిన (countable) అనంతములోని పూర్ణాంకములు ఒకొక సృష్టిలోని వైవిధ్యాన్ని చూపిస్తాయి. నేను ఆయన చెప్పినది
పూర్తిగా అర్థంకాక పోయినా వినేవాణ్ణి."
ఇది పూర్వం జనకమహారాజు సభలో వంది, అష్టావక్రుల సంవాదాన్ని గుర్తు చేస్తుంది. అప్పుడు 13 అంకెల వరకు ఉన్న అంకెల
ప్రాముఖ్యత వరకు వివరించడం జరిగిది. సంఖ్య కి సృష్టికి ఉన్న సంబంధాన్నే సాంఖ్య దర్శనం తెలియచేస్తుంది. ఇది కపిల మహర్షి
మొదట తన తల్లి దేవహూతికి బోధించాడు. సృష్టి పంచ వింశతి (25) తత్త్వాలతో ఏర్పడినదని సాంఖ్యంచెపుతుంది.
1933 లో మహలనబిస్ స్థాపించిన ఇండియన్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్స్టిట్యూట్, కలకత్తా వారి జర్నల్ పేరు "సంఖ్య". రామానుజానికి సంఖ్యలతో
ఉన్న పరిచయం జన్మాంతర సంబంధం. 1729 అనే అంకెను రామానుజం-హార్డీ సంఖ్య అంటారు. దీని వివరాలు తరువాత.
శూన్యము, అనంతము - 5
రామానుజం-హార్డీ సంఖ్య 1729
శూన్యం – అనంతం - మధ్య అనంత కోటి పూర్ణాంకాలు - అనంతమైన అనంతాల సంఖ్యలు.
శూన్యం భూలోకమనుకుంటే బ్రహ్మాండంలో సత్యలోకం, పైన కైలాసం, వైకుంఠం, గోలోకం, బ్రహ్మాండానికి అవల వ్యాపించిన క్షీర సాగరం ఆదిశేషుని పర్యకం పై పవళించిన మహావిష్ణువు. క్రిందకు వెడితే అతలము నుండి పాతాళమువరకు వ్యాపించిన బ్రహ్మాండపు అధో భాగం, ఆదిశేషుని లోకమైన రసాతలం. దీని అక్షము వరకు వ్యాపించిన (- ∞ ...0... ∞ ) సంఖ్యారేఖ. కేంద్రబిందువు పైనున్న భూమండలము, సూర్యమండలము. సృష్టిలో ఒక బ్రహ్మకల్పంలో బ్రహ్మతోబాటుగా సృష్టించబడిన లక్షలకోట్ల ఆత్మలు సంఖ్యా రేఖపై నున్న ఆనేక రకముల సంఖ్యలు. ఆనాడు రామానుజానికి ఇలా బ్రహ్మాండ, విష్ణు పురాణాలలోని సృష్టి వర్ణనను గురించి వాహ్యాళికి వెళ్ళినప్పుడు సంభాషించేవారు ఉండి ఉంటే ఆయన ఇంకా ఎన్ని గణితరహస్యాలు బయటపెట్టే వారో? సామాన్య నిత్యజీవిత సంభాషణలోనే ఆయన అంకెల తత్త్వాన్ని క్షణంలో గుర్తించేవారు. ఆసుపత్రిలో ఉండగా ఆయనను చూడటానికి వెళ్ళిన హార్డీ వెళ్లిన కారు రిజిస్ట్రేషన్ నంబరు 1729. అదిచెబుతూ ఇది ఏ ప్రత్యేకతా లేని సంఖ్య కదా! అని హార్డీ అన్నారు. వెంటనే రామానుజం అది రెండు ఘనముల మొత్తంగా వ్రాయగలిగిన అతిచిన్న సంఖ్య అనిచెప్పారు.
1729=1^3+〖12〗^3= 9^3+〖10〗^3
ఈ సంఖ్యకు ఇంకా అనేక ప్రత్యేకతలున్నాయి.
1729 = 7 x 13 x 19;
The sum of digits of 1729 = 1+7+2+9 = 19; 19 x 91 = 1729.
1 కాకుండా ఇలా వ్రాయగల సంఖ్యలు ఇంకో రెండే ఉన్నాయి 81, 1458.
2013 లోనే ప్రచురింపబడిన పుస్తకాలలో కంప్యూటర్ సైన్స్ ఆచార్యుడు నోసన్ యనోవ్స్కీ (Professor Noson S. Yanofsky), వ్రాసిన " ది ఔటర్ లిమిట్స్ ఆఫ్ రీజన్, వాట్ సైన్స్, మాథ్స్ అండ్ లాజిక్ కెనాట్ టెల్ అస్" (కార్య-కారణతకు పరిమితులు: విజ్ఞానశాస్త్రము, గణితము, తర్కము మనకు బోధింపలేని విషయాలు) MIT Press ముఖ్యమైనది. ఇక్కడ విషయం ఏమంటే అనంత సృష్టిలో ఒక బిందువుకంటే అధికముగాని ఒక మనుష్య మేధస్సు, విశ్వములో ఒక పరిమితభాగాన్ని మాత్రమే పరికించ గలదు. మానవాతీతమైన జ్ఞానార్జనకై చేసే ప్రయత్నం వృథా ప్రయాస. ఉదాహరణకు గణిత శాస్త్రములో అనంతమును గురించి మనము ఎంతవరకు గ్రహించగలము. "1, 2, 3, ... ఇలా ఎన్ని అంకెలున్నాయి?" అంటే అనంతము, (ఇన్ఫినిటీ) అని చెబుతాము. 1, 2 మధ్య 1,1.1, 1.01, 1.001 ... ఇలా ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి? అంటే కూడా అనంతము, (ఇన్ఫినిటీ) అని చెబుతాము. ఈ రెండు ఇన్ఫినిటీలు ఒకటికావు. మొదటిది లెక్కపెట్టగలిగిన (కౌంటబుల్) అనంతము, రెండవది (అన్కౌంటబుల్) అనంతం. మన గెలాక్సీలో నక్షత్రాలసంఖ్యను మొదటి తరగతి అనంతంగానూ గానూ, విశ్వంలో మొత్తం నక్షత్రాలసంఖ్యను రెండవ తరగతి అనంతంగాను గుర్తింపవచ్చు. గణితంలో అనంతాన్ని ఈ గుర్తుతో (∞) సూచిస్తాము. అనంత మనేది ఒక సంఖ్యకాదు. ఒక మానవాతీతమైన తత్త్వము. అదికేవలము గణితానికే పరిమితము కాదు. సృష్టి అనంతము. భగవంతుడు అనంతుడు. బ్రహ్మము అనంతము. వేదము అనంతము. (అనంతోవై వేదా).
అనంతమైన అనంతాలను గురించి మనకు ఉన్న జ్ఞానం ఇప్పుడు కూడా చాలా పరిమితం. భారతీయ గణిత చరిత్రలో అనంతమును గురించి చర్చ ఉన్నదా? ఇన్ఫైనిట్ (infinite) అనే ఆంగ్ల పదానికి అసంఖ్యాకమైన , అనంతమైన అని రెండు పదాలు మన భాషలో ఉపయోగించ గలము. ఇవి సమానార్థాకాలు కావు. రెండు తరగతుల అనంతమునకు సంబంధించినది. ఈ పద ప్రయోగం “సూర్య ప్రజ్ఞాప్తి” అనే ప్రాచీన భారత గణిత శాస్త్రగ్రంధములోనిది. ఇది సా.శ. పూ 3 - 4 శతాబ్దులనాటిది. సంఖ్యలను లెక్కింపగలిగినవి, అసంఖ్యాకము, అనంతము (countable, uncountable, infinite) అని మూడు వర్గాలు గాను, ఒకొక వర్గాన్ని మూడు ఉపవర్గాలు గాను విభజించారు. ఇది అనంతముపై ప్రాచీన భారతీయులకు గల అవగాహనను సూచిస్తుంది.
