వేద గణితము ఒక సంఖ్య వర్గమును వర్గ మూలమును కనుగొనుట (Finding out Square of a number)

వేద గణితము

ఒక సంఖ్య వర్గమును, వర్గమూలమును కనుగొనుట

(Finding out Square of a number)

https://cherukuramamohanrao.blogspot.com/2019/11/finding-out-square-of-number.html

(కాలక్షేపం కబురులు నేను వ్రాయటము లెదు. అవి సమయమును సంహరించుతాయి.

మనసునకు కలుగవలసిన వికాసమును హరించుతాయి. మనలో నిత్రాణమైయున్న అసురీ శక్తులను ప్రేరేపించూతాయి. అందువల్ల ఉబుసుపోకకు కబుర్లాడుకొన్నా అదే జీవిత పరమావధి కాకూడదు. ఈ దిగువ నా మనసు మీ ముందుంచుచున్నాను.

అక్కరకు రానిమాటలు

ఎక్కడనూ పనికి రావు ఎందులకనగా

మక్కువ దంటును నమిలిన

చిక్కనిదౌ చెరుకు రసము చిక్కునె రామా!

ఒక మంచి విషయమును కొంత ఓపిక వెచ్చించి తెలుసుకొన గలిగితే మీరు దానిని పదిమందికి పంచగలుగుతారు. ఉమ్మెత్త పూవులు ఎంత మెత్తగా ఉన్నా చందన గంధము పంచలేవు కదా!

అసలు విషయానికి వద్దాము. ఈ శ్లోకమును గమనించండి.

స్థాప్యోంత్యవర్గో ద్విగుణాంత్య నిఘ్నాఃl

స్వస్వోపరిష్టాచతథా-పరేంకాః

త్యక్త్వాంత్యముత్సార్య పునశ్చ రాశింll

ఈ శ్లోకము భాస్కరాచార్యుడు-2 తన 'లీలావతీ గణితము'లో చెప్పిన విషయము. ఇది శ్లోకరూపములో చెప్పిన 'వర్గమును కనుగొను అత్యద్భుత విధానము. ఈ విధానమును ఒకపరి ఆకళింపు చేసుకొన్నారంటే ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గము కనుగొనుట ఎంత సులభము అన్నది మనకు అర్థమౌతుంది.పాశ్చాత్య విధానములో అంటే మనము పాఠశాలలో నేర్చుకొన్న గణిత విద్యలో ఒక సంఖ్య వర్గమును కనుగొనవలెనంటే ఆసంఖ్యను అదే సంఖ్యతో హెచ్చవేసి ఫలితము తెలుసుకోవలసియుంటుంది. ఉదాహరణకు 352 యొక్క వర్గము కనుగొనవలెనంటే

352x352 చేస్తే 1,23,904 వస్తుంది. వేరొక మార్గము లేదు. అదే 5 అంకెల సంఖ్య అయితే పని ఇంకా కష్టమౌతుంది. కానీ భాస్కరాచార్యులవారు చెప్పిన ఈ విధానమును ఆకళింపు చేసుకొని అనుసరించితే ఆపని అత్యంత సులభమౌతుంది. వ్యావహారికముగా ఈ పని అవసరమా అంటే చాలా అవసరము. అభియంతలకు (Engineers) స్థపతులకు (Archeticts) ఎంతో అవసరమౌతుంది. అట్టివారిని తయారు చేసే ఉపాధ్యాయులకు, ఆచార్యవర్యులకు కూడా మిక్కిలి అవసరము.

ఈ శ్లోకమును అర్థము చేసుకొనుటకు ముందు అవగాహన కొరకు ఈ క్రింది వివరణ అత్యవసరము.

ఒక ఇచ్చిన అంకెను రెండు విధములుగా చదువవచ్చును. ఎడమ నుండి కుడికి చదువుట ఒక విధమైతే కుడి నుండి ఎడమకు చదువుట ఒక విధము. వేదగణితము నందు ‘అంకానాం వామతో గతిః’ అన్న ఒక సూత్రము వుంది. అంటే ఒక సంఖ్య లోని అంకెలను మన కుడిచేతి వైపునుండి ఎడమ చేతివైపుకు చదువుట అని అర్థము. ఈ విషయాన్ని గతములో కూడా పలుమార్లు తెలియజేసినాను. రెండవది పాశ్చాత్య విధానము. ఎడమ నుండి కుడికి చదువుట. ఈ శ్లోకము గొప్పదనమేమిటంటే ఇచ్చిన అంకె యొక్క ఫలితమును అటునుంచియైనా ఇటునుంచి అయినా మొదలు పెట్టి ఫలితమును సాధించ వచ్చు.

పై శ్లోకమునకు అర్థము ఉదాహరణ రూపములో తీసుకొందాము. ఆ ఉదాహరణ కూడా పైన చెప్పిన 352 నే తీసుకొందాము. వర్గ మూలము కనుగొను విధానమును ఇటు 3 నుండి కానీ అటు 2 నుండి కానీ మొదలు పెట్టవచ్చును.

ముందు ఒకట్ల స్థానములో ఉన్న 2 వైపునుండి ఫలితము పొందు ప్రయాణము చేద్దాము.

1.    మొదట 2 యొక్క వర్గమును గ్రహించాలి అంటే 2²= 4

ముందు 352 క్రింద ఒక గీత గీచుకొందాము. గీచుకొని 4 ను ప్రక్కన చూపిన విధముగా వేసుకొందాము. ఇప్పుడు 2ను ద్విగుణీకృతము చేద్దాము.(We are doubling the last digit. Incidentally in this case it is 2, which when squared or multiplied by 2 yield the same result). వచ్చిన ఫలితమును ఈ విధముగా వేసుకొందాము. తరువాత 10ల స్థానములో ఉన్న 5 కు వర్గమును ఇప్పుడు 100 ళ స్థానములో 140 కి దిగువ పంక్తిలో వ్రాసుకొందాము. తరువాత 5ను 2తో  హెచ్చించి ఆ లబ్ధమును 25 లోని రెండు క్రింద వేసుకోవాలి. తరువాత 352 లోని 3కు వర్గము కనిపెట్టి 1 క్రింద వేసుకోవాలి. ఇపుడు మొత్తం కూడాలి.

                      3   5   2

                               4

                1   4    0

                2   5
            3  0

            9

123904  ఇదే జవాబు.

ఈ విధముగా, ముందు, మీకు తోచిన మూడు అంకెల సంఖ్యల యొక్క వర్గమును సాధించేది. ఉత్సాహవంతులు తప్పక ప్రయత్నించుతారని ఆశ. రెండు మూడు రోజుల తరువాత 4 లేక 5 అంకెల సంఖ్య యొక్క వర్గము కనుగొందాము.

ఇపుడు ఇదే 352 ను తీసుకొని ఎడమ వైపు నుండి అంటే 3 నుండి మొదలుపెట్టి సాధిద్దాం.

ముందు (1) 3² = 9 (2) 3x2=6  (3) 6x5 = 30 (4) 5²  = 25 (5) 35x2x2(This 2 is the last digit of the given number, 35 is 3 and 5 of the given number) = 140 (It is just doubling 5) (6) 10x2 =20 (2 in 352)  (7) = 2² = 4

                 3  5  2    

       9

       3  0

          2     5

           1    4   0

                        4

    1 2 3 9 0 4 ఇదే జవాబు.

ఇపుడు ఒక పెద్ద సంఖ్యను తీసుకొని దాని వర్గము కనిపెడుదాము.

45023² = 2027070529

వరుస క్రమములో పైన తెలిపిన విధానముతో స-క్రమముగా వ్రాసుకొంటూ పోతాము.

పంక్తి

  1.  = 3² = 9    

 2.  = 2x3x4502 = 27012

 3.  = 2² = 4

4.  = 2x2x450 = 1800

5.  = 0^{2 =} 0

^{6.  = 2x0x45 = 0}

7. = 5² = 25

8. = 2x5x4 = 40

9. = 4² = 16

పై విలువలను గతములో చెప్పిన విధమగు వరుసక్రమములో వ్రాయగా:

                                          9

                            2 7 0  1  2

                                     4

                           1 8 0 0

                                0

                             0

                       2 5

                    4 0

                 1 6

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­2 0 2 7 0 7 0 5 2 9: ఇది జవాబు – పైన ఇచ్చిన కలన యంత్రపు జవాబుతో పోల్చుకొనేది.

ఇపుడు మీరు ఎడమవైపు నుండి మొదలు పెట్టి ఇదే సంఖ్యకు వర్గము కనుగొనగలరు.

 ఈ దిగువ వర్గమూలము వేదగణిత విధానములో కనుగొనుట తెలుప బడినది. ఇది భాస్కరాచార్య-2 గారి లీవతి గణితము లోనూ పావులూరి మల్లన గణితములోనూ తెలుపబడినది.


స్వస్తి.